| Автор | Олимпиадная задачка |
|---|
В общем, такие дела, чат, задал детям задачку я. Такую:
В клетках таблицы 10×100 написаны целые числа. Разрешается выбрать любую клетку и вычесть из стоящего в ней числа количество соседних по стороне клеток, а к числам, стоящим в соседних клетках, прибавить по 1. Всегда ли из таблицы, сумма чисел в которой̆ равна 0, такими операциями можно получить таблицу, целиком заполненную нулями?
Нашел в своем старом (времен моей школы) кружке. А дети не решили и я не решил и мне стыдно. Может среди вас есть крутые математики? За верное решение (подробно расписанное) плачу скажем 100к. Внимание: это задача вообще говоря, для школьников, но для крутых олимпиадников. Возможно даже уровень заключительного этапа всероса, не скажу точно, так как решение то не помню) Но вроде бы она решалась как-то просто, но это не точно. |
| Они просто формат не разборали |
| На всякий случай, имелось в виду подарок такой. Вы решаете ради интереса (и славы крутого математика на фвт). А я от чистого сердца дарю подарок. Это не нарушение правил вроде |
| В клетках таблицы 10 на 100 написаны целые числа. Разрешается выбрать любую клетку и вычесть из стоящего в неи; числа количество соседних по стороне клеток, а к числам, стоящим в соседних клетках, прибавить по 1. Всегда ли из таблицы, сумма чисел в которой; равна 0, такими операциями можно получить таблицу, целиком заполненную нулями? |
| Может, кому поможет, доказал, что в таблице 1 на n всегда можно. А в квадрате 2 на 2 не всегда. Там из соображений четности если рядом 1 и -1 по стороне, и два нуля всегда будет ровно 2 нечетных числа. Может, это как-то поможет |
| Неужели нет тут героев, способных решить олимпиадную задачку?! |
для Ути-Пути2:
Я задачку со здездочкой в учебнике математики 5 класса решить не могу |
| чот не поняла формулировки |
для Затмение:
еще раз есть у нас табличка 10 на 100, в ней целые числа. Берем любую клетку. Например, где-то внутри. У неё 4 соседних по стороне. Можно из неё вычесть 4 а ко всем соседним по стороне прибавить 1. Спрашивается для любых ли целых чисел вначале (сумма которых ноль) можно получить таблицу из одних нулей |
| Соответственно если на границе клетка там 3 вычитаем и прибавляем к соседним по 1, а если в углу то два. Блин тока прочитал, люди если вы не олимпиадники, идите мимо |
| У ТС нет 100к. У него нет даже 2к. |
для Levandos:
как только ты решишь, я сразу найду за 1 минуту, обещаю! |
| актуально=( |
| Нет в очень редких случаях можно получить заполненную нулями таблицу. Так как все клетки связаны со своими соседями. Это как кубик-рубик, если изначально он собран не правильно, то какие методы не применяй кручением, но правильно его не собрать. Это задача по комбинаторике? |
| а у тс ума вообще походу нет!!!! |
для Byron:
Да, насколько я помню, действительно, ответ нет, не всегда. Но нужно привести пример, когда нельзя и доказать, что нельзя. Это задача с кружка олимпиадной математики. Вот этого я не помню и спросить по давности лет не у кого из организаторов. Обоснование так себе пока) Если таблица 1 на n то тоже все клетки связаны со своими соседями, а получить все нули всегда можно. |
| Пока доказал, что в таблице 1 на n всегда можно получить все нули, а в таблице 2 на 2 если в начале 1 строка 0, 0 а вторая 1 ,(-1) то все нули получить нельзя. Осталось перейти к 10 на 100 ) |
Давайте для начала рассмотрим таблицу 4x12. Выделим в ней некоторые клеточки как особенные (отмечены серым), а остальные назовем обычными:
OOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOO
OOOOOOOOOOOO
Посмотрим на сумму всех чисел в особенных клетках. Любая операция не меняет четности этой суммы (у каждой особенной клетки четное количество обычных соседей, и у каждой обычной - четное количество особенных), т.е. эта четность является инвариантом.
Следовательно, если в начальной конфигурации рассмотренная сумма нечетна, то получить конфигурацию со всеми нулями (где сумма особенных клеток четна) будет невозможно.
Аналогичная конструкция работает и для таблички 10x100, если разделить ее на 10 квадратов 10x10. |
для Alex_2oo8:
вроде бы верно! Спасибо, сейчас я чуть чуть подумаю и всё будет! Офигеть! |
для Alex_2oo8:
Задача решена, спасибо! |
| тема закрыта by Ути-Пути2 (2019-11-25 23:16:08) |
|---|
